Quadratischer Zahlbereich/D ist -13/Klassengruppe/Aufgabe/Lösung

Die Diskriminante ist ${\displaystyle {}-52}$, jede Idealklasse wird nach Fakt durch ein Ideal der Norm ${\displaystyle {}\leq {\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}}$ repräsentiert, also ${\displaystyle {}\leq 4}$. Da die Idealklassengruppe durch Primideale erzeugt wird, müssen wir nur Primideale betrachten, die auf ${\displaystyle {}(2)}$ oder ${\displaystyle {}(3)}$ runterschneiden. Der Ganzheitsring ist

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {-13}}]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+13)\,.}$

Für ein Element ${\displaystyle {}a+b{\sqrt {-13}}}$ ist die Norm gleich ${\displaystyle {}a^{2}+13b^{2}}$.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=2}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+13)\right)}/(2)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+1)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y+1)^{2}\,.}$

Das einzige Primideal oberhalb von ${\displaystyle {}(2)}$ ist also

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-13}})\,.}$

Dessen Norm ist ${\displaystyle {}2}$, es ist kein Hauptideal, da ${\displaystyle {}2}$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${\displaystyle {}(2)={\mathfrak {p}}^{2}\,.}$

Insbesondere ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}2}$ in der Klassengruppe.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=3}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+13)\right)}/(3)=\mathbb {Z} /(3)[Y]/(Y^{2}+1)\,.}$

${\displaystyle {}3}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$