Quadratischer Zahlbereich/D ist -15/Klassengruppe/Aufgabe/Lösung

Der Ganzheitsring ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]}$ mit der Restklassenbeschreibung

${\displaystyle {}A_{-15}\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}-X+4)\,.}$

Die Norm von ${\displaystyle {}a+b{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}}$ ist

${\displaystyle {}{\left(a+{\frac {b}{2}}\right)}^{2}+15{\frac {b^{2}}{4}}={\frac {4a^{2}+b^{2}+4ab+15b^{2}}{4}}={\frac {4a^{2}+4ab+16b^{2}}{4}}=a^{2}+ab+4b^{2}\,.}$

Die Diskriminante ist ${\displaystyle {}-15}$. Gemäß Fakt müssen wir die Primideale der Norm unterhalb von ${\displaystyle {}{\frac {2{\sqrt {15}}}{\pi }}}$ untersuchen. Das sind die über ${\displaystyle {}2}$ oder über ${\displaystyle {}3}$.

Oberhalb von ${\displaystyle {}(2)}$ wird der Ring durch

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+X)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X(X+1))\,}$

beschrieben, es gibt die beiden Primideale ${\displaystyle {}{\left(2,{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}\right)}}$ und ${\displaystyle {}{\left(2,{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}+1\right)}={\left(2,{\frac {1-{\sqrt {-15}}}{2}}\right)}}$, die zueinander konjugiert sind. Die ${\displaystyle {}2}$ tritt nicht als Norm auf, wie deren erste Darstellung oben zeigt, und deshalb ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}={\left(2,{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}\right)}\,}$

ein Primideal, das in der Klassengruppe die Ordnung ${\displaystyle {}2}$ besitzt.

Oberhalb von ${\displaystyle {}(3)}$ wird der Ring durch

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}-X+1)=\mathbb {Z} /(3)[X]/((X+1)^{2})\,}$

beschrieben, es ist also

${\displaystyle {}(3)={\mathfrak {q}}^{2}\,}$

mit

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}={\left(3,{\frac {\sqrt {-15}}{2}}\right)}\,.}$

Aus dem gleichen Grund wie eben ist dies auch kein Hauptideal.

Das Produkt

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}={\left(2,{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}\right)}{\left(3,{\frac {\sqrt {-15}}{2}}\right)}={\left(6,{\sqrt {-15}},{\frac {3+3{\sqrt {-15}}}{2}},{\frac {-15+{\sqrt {-15}}}{4}}\right)}\,}$

besitzt die Norm ${\displaystyle {}6}$ und enthält das Element

${\displaystyle {}{\frac {3+3{\sqrt {-15}}}{2}}-{\sqrt {-15}}=1+{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}\,}$

${\displaystyle {}6}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$