Quadratischer Zahlbereich/D ist -17/Klassengruppe/Aufgabe/Lösung

Die Diskriminante ist ${\displaystyle {}-78}$, jede Idealklasse wird nach Fakt durch ein Ideal der Norm ${\displaystyle {}\leq {\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}}$ repräsentiert, also ${\displaystyle {}\leq 6}$. Da die Idealklassengruppe durch Primideale erzeugt wird, müssen wir nur Primideale betrachten, die auf ${\displaystyle {}(2),(3)}$ oder ${\displaystyle {}(5)}$ runterschneiden. Der Ganzheitsring ist

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {-17}}]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+17)\,.}$

Für ein Element ${\displaystyle {}a+b{\sqrt {-17}}}$ ist die Norm gleich ${\displaystyle {}a^{2}+17b^{2}}$.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=2}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+17)\right)}/(2)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+1)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y+1)^{2}\,.}$

Das einzige Primideal oberhalb von ${\displaystyle {}(2)}$ ist also

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-17}})\,.}$

Dessen Norm ist ${\displaystyle {}2}$, es ist kein Hauptideal, da ${\displaystyle {}2}$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${\displaystyle {}(2)={\mathfrak {p}}^{2}\,.}$

Insbesondere ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}2}$ in der Klassengruppe.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=3}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+17)\right)}/(3)=\mathbb {Z} /(3)[Y]/(Y^{2}+2)=\mathbb {Z} /(3)[Y]/(Y+1)(Y+2)\,.}$

Die Primideale oberhalb von ${\displaystyle {}(3)}$ sind also

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}=(3,1+{\sqrt {-17}})\,}$

und

${\displaystyle {}(3,2+{\sqrt {-17}})=(3,-1+{\sqrt {-17}})=(3,1-{\sqrt {-17}})={\overline {\mathfrak {q}}}\,.}$

Die Norm der beiden Ideale ist ${\displaystyle {}3}$, es sind keine Hauptideale, da ${\displaystyle {}3}$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${\displaystyle {}(3)={\mathfrak {r}}{\overline {\mathfrak {r}}}\,.}$

Die Norm von ${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}^{k}}$ ist ${\displaystyle {}3^{k}}$, dies sind für ${\displaystyle {}k=1,2,3}$ keine Hauptideale. Dagegen besitzt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\mathfrak {r}}^{4}&=(3,1+{\sqrt {-17}})^{4}\\&={\left(9,3+3{\sqrt {-17}},-16+2{\sqrt {-17}}\right)}^{2}\\&={\left(81,27+27{\sqrt {-17}},\right)}\end{aligned}}}$

die Norm ${\displaystyle {}81}$ und es gibt auch Elemente der Norm ${\displaystyle {}81}$, beispielsweise ${\displaystyle {}8+{\sqrt {-17}}}$. Daher muss es ein Hauptideal sein.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=5}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+17)\right)}/(5)=\mathbb {Z} /(5)[Y]/(Y^{2}+2)\,.}$

Dies ist ein Körper und ${\displaystyle {}5}$ ist träge und in der Klassengruppe trivial.

Wir wissen also, dass die Klassengruppe von den beiden Primidealen ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}}$ erzeugt wird, mit Ordnung zwei bzw. Ordnung vier. Wir betrachten das Produkt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}^{2}&={\left(2,1+{\sqrt {-17}}\right)}{\left(3,1+{\sqrt {-17}}\right)}{\left(3,1+{\sqrt {-17}}\right)}\\&={\left(18,6+6{\sqrt {-17}},9+9{\sqrt {-17}},-32+4{\sqrt {-17}},...\right)}.\end{aligned}}}$

Das Element

${\displaystyle {}-4\cdot 18+{\left(9+9{\sqrt {-17}}\right)}-2{\left(-32+4{\sqrt {-17}}\right)}=-72+73+{\sqrt {-17}}=1+{\sqrt {-17}}\,}$

gehört zu diesem Produktideal. Es besitzt die Norm ${\displaystyle {}18}$ wie das Ideal, deshalb ist es ein Hauptideal. Daher ist dieses Ideal in der Klassengruppe trivial und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ist isomorph zum Quadrat von ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$. Deshalb ist die Klassengruppe isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$.