Quadratischer Zahlbereich/D ist -29/Klassengruppe/Aufgabe/Lösung

Die Diskriminante ist ${\displaystyle {}-116}$, jede Idealklasse wird nach Fakt durch ein Ideal der Norm ${\displaystyle {}\leq {\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}}$ repräsentiert, also echt kleiner als ${\displaystyle {}7}$. Da die Idealklassengruppe durch Primideale erzeugt wird, müssen wir nur Primideale betrachten, die auf ${\displaystyle {}(2),(3)}$ oder ${\displaystyle {}(5)}$ runterschneiden. Der Ganzheitsring ist

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {-29}}]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+29)\,.}$

Für ein Element ${\displaystyle {}a+b{\sqrt {-29}}}$ ist die Norm gleich ${\displaystyle {}a^{2}+29b^{2}}$.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=2}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+29)\right)}/(2)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+1)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y+1)^{2}\,.}$

Das einzige Primideal oberhalb von ${\displaystyle {}(2)}$ ist also

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-29}})\,.}$

Dessen Norm ist ${\displaystyle {}2}$, es ist kein Hauptideal, da ${\displaystyle {}2}$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${\displaystyle {}(2)={\mathfrak {p}}^{2}\,.}$

Insbesondere ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}2}$ in der Klassengruppe.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=3}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+2)\right)}/(3)=\mathbb {Z} /(3)[Y]/(Y+1)(Y+2)\,.}$

Die Primideale oberhalb von ${\displaystyle {}(3)}$ sind also

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}=(3,1+{\sqrt {-29}})\,}$

und dazu konjugiert

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}=(3,1-{\sqrt {-29}})\,}$

Deren Norm ist ${\displaystyle {}3}$, sie sind keine Hauptideale, da ${\displaystyle {}3}$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${\displaystyle {}(3)={\mathfrak {q}}{\overline {\mathfrak {q}}}\,.}$

Aufgrund der Normeigenschaften folgt, dass auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}^{2},{\mathfrak {q}}^{3}}$ keine Hauptideale sind. Wir betrachten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}^{3}&=(2,1+{\sqrt {-29}})(3,1+{\sqrt {-29}})(3,1+{\sqrt {-29}})(3,1+{\sqrt {-29}})\\&=(54,18+18{\sqrt {-29}},27+27{\sqrt {-29}},...).\end{aligned}}}$

Dies hat die Norm ${\displaystyle {}54}$. Das Element

${\displaystyle {}(1+{\sqrt {-29}})^{3}=-86-26{\sqrt {-29}}\,}$

gehört ebenfalls dazu, da das Doppelte und das Dreifache davon dazugehören. Deshalb gehört auch

${\displaystyle {}54+-86-26{\sqrt {-29}}+27+27{\sqrt {-29}}=-5+{\sqrt {-29}}\,}$

dazu. Da dieses die Norm ${\displaystyle {}54}$ besitzt, ist dieses Ideal ein Hauptideal. Insbesondere ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ äquivalent zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}^{3}}$ und braucht nicht weiter berücksichtigt zu werden. Zugleich ergibt sich, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}^{6}}$ ein Hauptideal ist. Deshalb definiert ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ ein Element in der Klassengruppe mit Ordnung ${\displaystyle {}6}$.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=5}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+4)\right)}/(5)=\mathbb {Z} /(5)[Y]/(Y+1)(Y+4)\,.}$

Die Primideale oberhalb von ${\displaystyle {}(5)}$ sind also

${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}=(5,1+{\sqrt {-29}})\,}$

und das dazu konjugierte Ideal, beide mit Norm ${\displaystyle {}5}$. Wir betrachten das Ideal

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}&=(2,1+{\sqrt {-29}})(3,1+{\sqrt {-29}})(5,1+{\sqrt {-29}})\\&=(30,1+{\sqrt {29}},...).\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}1+{\sqrt {29}}}$

${\displaystyle {}30}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(6)}$