Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Ideal/Basis/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$ zu ${\displaystyle {}D=-5}$ das Ideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.}$

Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Basis im Sinne von Fakt vorliegt. Die Normen der beiden Elemente sind

${\displaystyle {}N(2)=4\,}$

und

${\displaystyle {}N(1+{\sqrt {-5}})=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})=6\,.}$

Der Restklassening ist

${\displaystyle {}A_{-5}/{\mathfrak {p}}=A_{-5}/(2,1+{\sqrt {-5}})=\mathbb {Z} /(2)[{\sqrt {-5}}]/{\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}=\mathbb {Z} /(2)\,}$

und besitzt zwei Elemente. Da dieser Restklassenring ein Körper ist, ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein maximales Ideal.