Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Klassengruppe/Aufgabe/Lösung

Es ist ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+5)}$, die Diskriminante ist ${\displaystyle {}-20}$. Jede Idealklasse enthält nach Fakt ein Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ der Norm

${\displaystyle {}N({\mathfrak {a}})\leq {\frac {2{\sqrt {20}}}{\pi }}\,,}$

sodass nur Ideale mit Norm ${\displaystyle {}2}$ zu betrachten sind.

Oberhalb von ${\displaystyle {}(2)}$ ist der Ring gleich

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+1\right)}=\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left((X+1)^{2}\right)}\,,}$

daher ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,}$

das einzige relevante Primideal und es gilt

${\displaystyle {}(2)={\mathfrak {p}}^{2}\,.}$

Da es kein Element der Norm ${\displaystyle {}2}$ gibt, ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ kein Hauptideal. Daher ist die Idealklassengruppe

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$