Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Untergitter und Ideal/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich mit der Gitterrealisierung

${\displaystyle {}A_{D}=\Gamma =\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \omega \subseteq {\mathbb {C} }\,}$

mit ${\displaystyle {}\omega ={\sqrt {D}}}$ bzw. ${\displaystyle {}\omega ={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$. Es sei ${\displaystyle {}\Lambda \subseteq \Gamma }$ ein volles Untergitter. Zeige, dass ${\displaystyle {}\Lambda }$ genau dann ein Ideal in ${\displaystyle {}A_{D}}$ ist, wenn

${\displaystyle {}\omega \Lambda \subseteq \Lambda \,}$

gilt.