Quadratischer Zahlbereich/Verzweigung/Ordnung/Ableitung/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine quadratfreie Zahl ${\displaystyle {}\neq 0,1}$ mit

${\displaystyle {}D=2,3\mod 4\,}$

und ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, der nach Fakt die Restklassenbeschreibung ${\displaystyle {}A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)}$ besitzt. Die Ableitung von

${\displaystyle {}F=X^{2}-D\,}$

ist ${\displaystyle {}2X}$ und somit ist, um das Verzweigungsverhalten zu verstehen, nach Fakt das Ideal ${\displaystyle {}(2X,X^{2}-D)}$ zu betrachten. Wenn ${\displaystyle {}p\neq 2}$ und kein Teiler von ${\displaystyle {}D}$ ist, so ist dies über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ das Einheitsideal und es liegt keine Verzweigung vor. Wenn ${\displaystyle {}p}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}D}$ oder ${\displaystyle {}p=2}$ ist, so liegt Verzweigung mit Verzweigungsordnung ${\displaystyle {}2}$ vor.

Bei ${\displaystyle {}D=1\mod 4}$ ist nach Fakt ${\displaystyle {}A_{D}=\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}})}$. Die Ableitung ist ${\displaystyle {}2Y-1}$. Oberhalb von ${\displaystyle {}p=2}$ findet keine Verzweigung statt. Es sei also ${\displaystyle {}p\neq 2}$. Modulo ${\displaystyle {}p}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}},2Y-1)&=(4Y^{2}-4Y-D+1,2Y-1)\\&=1-2-D+1\\&=D.\end{aligned}}}$

Deshalb liegt Verzweigung genau in den Primteilern von ${\displaystyle {}D}$ vor.