Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt

Hauptachsentransformation für quadratische Polynome

{}F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}+c\,

besitzt in einer geeigneten (verschobenen) Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) die Form (mit ${}k\leq n$ und ${}r_{i}\neq 0$ )

${}F=\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+s\,$

oder die Form (mit ${}k\leq n-1$ und ${}r_{i}\neq 0$ )

${}F=\sum _{1\leq i\leq k}r_{i}U_{i}^{2}+sU_{k+1}\,.$

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen