Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für eine ungerade Primzahl ${\displaystyle {}p}$ gilt:

${\displaystyle {}\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox{)}}&\,.\end{matrix}}\right.\,}$