Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt mit Beweisklappe

Wir benutzen Fakt und müssen bestimmen, wie viele der Zahlen ${\displaystyle {}2i}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,t={\frac {p-1}{2}}}$, in ${\displaystyle {}S_{-}}$ liegen. Nun ist ${\displaystyle {}2i\in S_{-}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}2i>{\frac {p-1}{2}}}$ ist (alle zu betrachtenden Vielfachen von ${\displaystyle {}2}$ sind kleiner als ${\displaystyle {}p}$). Dies ist äquivalent zu ${\displaystyle {}i>{\frac {p-1}{4}}}$ und wir müssen das kleinste ${\displaystyle {}i}$ mit dieser Eigenschaft finden. Ist ${\displaystyle {}p-1}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}4}$, so ist ${\displaystyle {}{\frac {p-1}{4}}+1}$ das kleinste ${\displaystyle {}i}$ und insgesamt gibt es in diesem Fall

${\displaystyle {}{\frac {p-1}{2}}-{\left({\frac {p-1}{4}}+1\right)}+1={\frac {p-1}{4}}\,}$

solche ${\displaystyle {}i}$. Diese Anzahl ist bei ${\displaystyle {}p=1\mod 8}$ gerade und bei ${\displaystyle {}p=5\mod 8}$ ungerade, was das Ergebnis in diesen Fällen ergibt.

Es sei also nun ${\displaystyle {}p=3,7\mod 8}$ bzw. ${\displaystyle {}p=3\mod 4}$. Dann ist das kleinste ${\displaystyle {}i}$ derart, dass ${\displaystyle {}i>{\frac {p-1}{4}}}$ ist, gleich ${\displaystyle {}{\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}}$, und es gibt insgesamt

${\displaystyle {}{\frac {p-1}{2}}-{\left({\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}\right)}+1={\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}={\frac {p+1}{4}}\,}$

solche ${\displaystyle {}i}$. Diese Anzahl ist bei ${\displaystyle {}p=3\mod 8}$ ungerade und bei ${\displaystyle {}p=7\mod 8}$ gerade, was die Behauptung in diesen Fällen ergibt.