Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt mit Beweisklappe

Es sei ${\displaystyle {}t={\frac {p-1}{2}}}$ und ${\displaystyle {}u={\frac {q-1}{2}}}$. Nach Fakt  (3) gilt ${\displaystyle {}\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{S(p,q)+S(q,p)}}$, sodass also ${\displaystyle {}tu=S(p,q)+S(q,p)}$ zu zeigen ist. Betrachte

${\displaystyle {}M={\left\{qi-pj\mid 1\leq i\leq t,\,1\leq j\leq u\right\}}\,.}$

Diese Menge besitzt ${\displaystyle {}tu}$ Elemente. Es ist ferner ${\displaystyle {}0\notin M}$, da ja ${\displaystyle {}p}$ und ${\displaystyle {}q}$ teilerfremd sind. Es seien ${\displaystyle {}M_{-}}$ die negativen Elemente aus ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}M_{+}}$ die positiven Elemente aus ${\displaystyle {}M}$. Es ist ${\displaystyle {}qi-pj>0}$ genau dann, wenn

${\displaystyle {}{\frac {qi}{p}}>j\,}$

ist, was genau für ${\displaystyle {}1\leq j=\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor }$ der Fall ist. Zu jedem ${\displaystyle {}i}$, ${\displaystyle {}1\leq i\leq t}$, gibt es also genau ${\displaystyle {}\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor }$ Elemente in ${\displaystyle {}M_{+}}$. Damit hat ${\displaystyle {}M_{+}}$ genau

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor =S(q,p)\,}$

Elemente. Die entsprechende Überlegung liefert, dass ${\displaystyle {}M_{-}}$ genau ${\displaystyle {}S(p,q)}$ Elemente besitzt, woraus

${\displaystyle {}tu={\#\left(M\right)}={\#\left(M_{+}\right)}+{\#\left(M_{-}\right)}=S(q,p)+S(p,q)\,}$

folgt.