R^n/Orthogonalität/Zwei Einträge/Linearkombination/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}\,}$

ein Vektor.

a) Begründe elementargeometrisch, dass jeder Vektor der Form

${\displaystyle {}v_{ij}=-a_{j}e_{i}+a_{i}e_{j}\,}$

zu ${\displaystyle {}i\neq j}$ senkrecht auf ${\displaystyle {}v}$ steht.

b) Zeige, dass jeder Vektor

${\displaystyle {}w={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}\,}$

mit

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0\,}$

eine Linearkombination der ${\displaystyle {}v_{ij}}$ ist (und damit senkrecht auf ${\displaystyle {}v}$ steht).

c) Begründe, dass ein Vektor ${\displaystyle {}w}$, der im elementargeometrischen Sinn senkrecht auf ${\displaystyle {}v}$ steht, die Bedingung ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0}$ erfüllt.