R^n/Punkt/Stetige Funktionen/Einführung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}0\in \mathbb {R} ^{n}}$. Betrachte die Menge aller Paare

${\displaystyle (U,f){\text{ mit }}0\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}{\text{ offen und }}f:U\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ stetig }}}$

mit der Identifizierung

${\displaystyle {}(U,f)\sim (V,g)\,,}$

falls es eine offene Umgebung ${\displaystyle {}0\in W\subseteq U\cap V}$ mit

${\displaystyle {}f{|}_{W}=g{|}_{W}\,}$

gibt.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Es sei ${\displaystyle {}R}$ die Menge der Äquivalenzklassen zu ${\displaystyle {}\sim }$. Zeige, dass es auf ${\displaystyle {}R}$ eine natürliche Struktur als kommutativer Ring gibt.
3. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ ein lokaler Ring ist.

Diesen Ring nennt man den Ring der Keime stetiger Funktionen.