Rationale Folge/7n^4-2n^2+5 durch 4n^4-5n^3+n-6/Aufgabe/Lösung

Für ${\displaystyle {}n\geq 1}$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit ${\displaystyle {}1/n^{4}}$) als

${\displaystyle {}x_{n}:={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}={\frac {7-2{\frac {1}{n^{2}}}+5{\frac {1}{n^{4}}}}{4-5{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{3}}}-6{\frac {1}{n^{4}}}}}\,}$

schreiben. Folgen vom Typ ${\displaystyle {}a/n,\,a/n^{2},\,a/n^{3}}$ und ${\displaystyle {}a/n^{4}}$

sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen ${\displaystyle {}7}$ und der Nenner gegen ${\displaystyle {}4}$, sodass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen ${\displaystyle {}7/4\in \mathbb {Q} }$ konvergiert.