Rationale Funktion/Gemischte Taylorinterpolation/3/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von ${\displaystyle {}f(x)={\frac {x^{2}+4x-3}{x^{2}+7}}}$ ist

${\displaystyle {}f'(x)={\frac {(x^{2}+7)(2x+4)-2x(x^{2}+4x-3)}{(x^{2}+7)^{2}}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}f(0)=-{\frac {3}{7}}\,,}$

${\displaystyle {}f'(0)={\frac {28}{49}}={\frac {4}{7}}\,,}$

${\displaystyle {}f(2)={\frac {9}{11}}\,,}$

${\displaystyle {}f'(2)={\frac {88-36}{121}}={\frac {52}{121}}\,.}$

Diese Daten legen die linearen Approximationen fest. Wir setzen das gesuchte Polynom als

${\displaystyle {}h(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

an. Die Ableitung davon ist

${\displaystyle {}h'(x)=3ax^{2}+2bx+c\,.}$

Aus den Werten an der Stelle ${\displaystyle {}0}$ folgt direkt

${\displaystyle {}d=-{\frac {3}{7}}\,}$

und

${\displaystyle {}c={\frac {4}{7}}\,.}$

Somit verbleiben die beiden Bedingungen

${\displaystyle {}h(2)=8a+4b+2\cdot {\frac {4}{7}}-{\frac {3}{7}}={\frac {9}{11}}\,}$

und

${\displaystyle {}h'(2)=12a+4b+{\frac {4}{7}}={\frac {52}{121}}\,.}$

Die Differenz dieser beiden Gleichungen führt auf

${\displaystyle {}-4a+{\frac {1}{7}}={\frac {9}{11}}-{\frac {52}{121}}={\frac {99-52}{121}}={\frac {47}{121}}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}-4a={\frac {47}{121}}-{\frac {1}{7}}={\frac {329-121}{847}}={\frac {208}{847}}\,,}$

also

${\displaystyle {}a=-{\frac {52}{847}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}b=-3a-{\frac {1}{7}}+{\frac {13}{121}}=3\left({\frac {52}{847}}\right)-{\frac {1}{7}}+{\frac {13}{121}}={\frac {156-121+91}{847}}={\frac {18}{121}}\,.}$

Das gesuchte Polynom ist also

${\displaystyle {}h(x)=-{\frac {52}{847}}x^{3}+{\frac {18}{121}}x^{2}+{\frac {4}{7}}x-{\frac {3}{7}}\,.}$