Rationale Parametrisierung/Gleichung/3/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten von den Zählerpolynomen und dem Nennerpolynom die gleichgradigen Homogenisierungen

${\displaystyle {}H_{1}=T^{2}+ST+S^{2}\,,}$

${\displaystyle {}H_{2}=ST-S^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}H_{3}=T^{2}\,.}$

Wir betrachten die monomialen Kombinationen ${\displaystyle {}H_{1}^{i}H_{2}^{j}H_{3}^{k}}$ vom Grad (bezüglich ${\displaystyle {}S,T}$)

${\displaystyle {}2(i+j+k)=4\,.}$

Hierfür gibt es die sechs Möglichkeiten

${\displaystyle (2,0,0),\,(0,2,0),\,(0,0,2),\,(1,1,0),\,(1,0,1),\,(0,1,1).}$

Da es nur fünf Monome in ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}T}$ vom Grad ${\displaystyle {}4}$ gibt, muss es zwischen den homogenen Polynomen ${\displaystyle {}H_{1}^{i}H_{2}^{j}H_{3}^{k}}$, wobei die Exponententupel durch die angegebene Liste laufen, eine nichtlineare Relation geben. Es ist

${\displaystyle {}F_{1}=H_{1}^{2}H_{2}^{0}H_{3}^{0}={\left(T^{2}+ST+S^{2}\right)}^{2}=T^{4}+2ST^{3}+3S^{2}T^{2}+2S^{3}T+S^{4}\,,}$

${\displaystyle {}F_{2}=H_{1}^{1}H_{2}^{2}H_{3}^{0}={\left(ST-S^{2}\right)}^{2}=S^{2}T^{2}-2S^{3}T+S^{4}\,,}$

${\displaystyle {}F_{3}=H_{1}^{0}H_{2}^{0}H_{3}^{2}=T^{4}\,,}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}F_{4}&=H_{1}^{1}H_{2}^{1}H_{3}^{0}\\&={\left(T^{2}+ST+S^{2}\right)}{\left(ST-S^{2}\right)}\\&=ST^{3}-S^{4},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}F_{5}=H_{1}^{1}H_{2}^{0}H_{3}^{1}={\left(T^{2}+ST+S^{2}\right)}T^{2}=T^{4}+ST^{3}+S^{2}T^{2}\,,}$

${\displaystyle {}F_{6}=H_{1}^{0}H_{2}^{1}H_{3}^{1}={\left(ST-S^{2}\right)}T^{2}=ST^{3}-S^{2}T^{2}\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}F_{1}+F_{2}+2F_{4}&=T^{4}+2ST^{3}+3S^{2}T^{2}+2S^{3}T+S^{4}+S^{2}T^{2}-2S^{3}T+S^{4}+2{\left(ST^{3}-S^{4}\right)}\\&=T^{4}+4ST^{3}+4S^{2}T^{2}.\end{aligned}}}$

Somit ist

${\displaystyle {}F_{1}+F_{2}+2F_{4}-4F_{5}+3F_{3}=0\,.}$

Also ist

${\displaystyle U^{2}+V^{2}+3W^{2}+2UV-4UW}$

ein Polynom, das ${\displaystyle {}H_{1},H_{2},H_{3}}$ annulliert. Daher ist

${\displaystyle {\left({\frac {U}{W}}\right)}^{2}+{\left({\frac {V}{W}}\right)}^{2}+2{\frac {U}{W}}\cdot {\frac {V}{W}}-4{\frac {U}{W}}+3}$

bzw.

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+2XY-4X+3}$

ein Polynom, dass die rationalen Funktionen ${\displaystyle {}{\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}}}$ und ${\displaystyle {}{\frac {t-1}{t^{2}}}}$ annulliert. Dies wird durch die Probe

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\,&\,{\left({\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {t-1}{t^{2}}}\right)}^{2}+2{\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}}\cdot {\frac {t-1}{t^{2}}}-4{\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}}+3\\&={\frac {1}{t^{4}}}{\left(t^{4}+t^{2}+1+2t^{3}+2t^{2}+2t+t^{2}-2t+1+2t^{3}+2t^{2}+2t-2t^{2}-2t-2-4t^{4}-4t^{3}-4t^{2}+3t^{4}\right)}\\&=0\end{aligned}}}$