Rationale Zahlen/Z^3/Injektive Abbildung/Aufgabe/Lösung

Seien ${\displaystyle {}(m,n,k)}$ und ${\displaystyle {}(a,b,c)}$ aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{3}}$ gegeben, die unter ${\displaystyle {}\varphi }$ auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist

${\displaystyle {}2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot 5^{c}\,.}$

Durch beidseitige Multiplikation mit ${\displaystyle {}2^{r}\cdot 3^{s}\cdot 5^{t}}$ mit ${\displaystyle {}r,s,t}$ hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da ${\displaystyle {}2,3,5}$ Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist

${\displaystyle {}(m,n,k)=(a,b,c)\,}$

und die Abbildung ist injektiv.

Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise ${\displaystyle {}7}$ nicht im Bild liegt. Wäre nämlich

${\displaystyle {}7=2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}\,,}$