Rechtwinkliges Dreieck/Rationale Seiten/Flächeninhalt/1/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner ${\displaystyle {}h}$ schreiben und setzen die Seitenlängen als ${\displaystyle {}{\frac {a}{h}},{\frac {b}{h}},{\frac {c}{h}}}$ an, mit

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.}$

Die Flächenbedingung bedeutet

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{h}}\cdot {\frac {b}{h}}=1\,}$

bzw.

${\displaystyle {}ab=2h^{2}\,.}$

Wir lösen nach ${\displaystyle {}b}$ auf und erhalten

${\displaystyle {}b={\frac {2h^{2}}{a}}\,}$

und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten

${\displaystyle {}a^{2}+{\left({\frac {2h^{2}}{a}}\right)}^{2}=c^{2}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}a^{4}+4h^{4}=c^{2}a^{2}\,.}$

Wir schreiben dies als

${\displaystyle {}0=a^{4}-a^{2}c^{2}+4h^{4}={\left(a^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {c^{4}}{4}}+4h^{4}\,.}$

Multiplikation mit ${\displaystyle {}4}$ ergibt

${\displaystyle {}0={\left(2a^{2}-c^{2}\right)}^{2}-c^{4}+(2h)^{4}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}(2h)^{4}-c^{4}={\left(2a^{2}-c^{2}\right)}^{2}\,.}$

Dann wäre aber das Tripel ${\displaystyle {}(2h,c,2a^{2}-c^{2})}$ eine Lösung der Gleichung

${\displaystyle {}x^{4}-y^{4}=z^{2}\,.}$

Wegen der Irrationalität von ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$ ist ${\displaystyle {}2a^{2}-c^{2}\neq 0}$,