Rechtwinkliges Dreieck/Rationale Seiten/Flächeninhalt/2/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner ${\displaystyle {}h}$ schreiben und setzen die Seitenlängen als ${\displaystyle {}{\frac {a}{h}},{\frac {b}{h}},{\frac {c}{h}}}$ an, mit

${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.}$

Die Flächenbedingung bedeutet

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{h}}\cdot {\frac {b}{h}}=2\,}$

bzw.

${\displaystyle {}ab=4h^{2}\,.}$

Wir lösen nach ${\displaystyle {}b}$ auf und erhalten

${\displaystyle {}b={\frac {4h^{2}}{a}}\,}$

und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten

${\displaystyle {}a^{2}+{\left({\frac {4h^{2}}{a}}\right)}^{2}=c^{2}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}a^{4}+16h^{4}=a^{2}c^{2}\,.}$

Dann wäre aber das Tripel ${\displaystyle {}(a,2h,ac)}$ eine nichttriviale Lösung der Gleichung

${\displaystyle {}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,,}$

was es nach Fakt