Reell konvergente Folgen/Limesabbildung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge aller reellen konvergenten Folgen und

${\displaystyle \Psi \colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\longmapsto {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)},}$

die Abbildung, die einer konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet. Warum ist dies eine (wohldefinierte) Abbildung? Ist ${\displaystyle {}\Psi }$ injektiv? Ist ${\displaystyle {}\Psi }$ surjektiv?