Reelle Funktion/Indikatorfunktion nichtnegativ/Unstetig/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle {}f(x)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x<0\,,\\1,{\text{ falls }}x\geq 0\,.\end{cases}}\,}$

Diese Funktion ist im Nullpunkt ${\displaystyle {}0}$ nicht stetig. Für ${\displaystyle {}\epsilon ={\frac {1}{2}}}$ und jedes beliebige positive ${\displaystyle {}\delta }$ gibt es nämlich negative Zahlen ${\displaystyle {}x'}$ mit ${\displaystyle {}d(0,x')=\vert {x'}\vert \leq \delta }$. Für diese ist aber ${\displaystyle {}d(f(0),f(x'))=d(1,0)=1\not \leq {\frac {1}{2}}}$.