Reelle Funktion/Monoton wachsend/Konvex/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Es seien ${\displaystyle {}c<d}$ Elemente aus ${\displaystyle {}J}$ mit ${\displaystyle {}c=f(a)}$ und ${\displaystyle {}d=f(b)}$, ${\displaystyle {}a<b}$. Die verbindende Strecke ist ${\displaystyle {}{\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {-cb+da}{d-c}}}$, ${\displaystyle {}y\in [c,d]}$. Für ein solches ${\displaystyle {}y}$ ist

${\displaystyle {}f^{-1}(y)\geq {\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {-cb+da}{d-c}}\,}$

zu zeigen. Es sei

${\displaystyle {}x=f^{-1}(y)\,.}$

Wegen der Konvexität von ${\displaystyle {}f}$ gilt

${\displaystyle {}f(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x+{\frac {-af(b)+bf(a)}{b-a}}={\frac {d-c}{b-a}}x+{\frac {-ad+bc}{b-a}}\,.}$

Multiplikation mit ${\displaystyle {}{\frac {b-a}{d-c}}}$ ergibt

${\displaystyle {}{\frac {b-a}{d-c}}f(x)\leq x+{\frac {-ad+bc}{d-c}}\,}$

und somit

${\displaystyle {}f^{-1}(y)=x\geq {\frac {b-a}{d-c}}f(x)-{\frac {-ad+bc}{d-c}}={\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {ad-bc}{d-c}}\,}$