Reelle Funktion/Quadratwurzel aus x^3-x/Extrema/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1)\,.}$

Für ${\displaystyle {}x\in ]-1,0[}$ sind die beiden linken Faktoren negativ ${\displaystyle {}}$ und der rechte ist positiv, daher ist ${\displaystyle {}x^{3}-x}$ auf ${\displaystyle {}]-1,0[}$ positiv mit Nullstellen an den beiden Rändern. Dies überträgt sich auf ${\displaystyle {}f(x)}$. Insbesondere nimmt ${\displaystyle {}f}$ an den beiden Randpunkten ${\displaystyle {}-1}$ und ${\displaystyle {}0}$ isolierte und globale Minima mit dem Wert ${\displaystyle {}0}$ an.

Zur Bestimmung von weiteren Extrema ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

${\displaystyle {}f'(x)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3x^{2}-1}{\sqrt {x^{3}-x}}}\,.}$

Die Nullstellenbedingung wird zu

${\displaystyle {}x^{2}={\frac {1}{3}}\,,}$

wobei nur

${\displaystyle {}x=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$