Reelle Partialbruchzerlegung/Integration/Andeutung/Bemerkung

Eine wichtige Anwendung der reellen Partialbruchzerlegung ist es, zu rationalen Funktionen ${\displaystyle {}P/Q}$, ${\displaystyle {}P,Q\in \mathbb {R} [X]}$, ${\displaystyle {}Q\neq 0}$, eine Stammfunktion zu finden, also zu integrieren. Man berechnet hierzu die Partialbruchzerlegung von ${\displaystyle {}P/Q}$ und muss dann zu dem Polynom ${\displaystyle {}H}$ und den Summanden der Form ${\displaystyle {}{\frac {b}{(X-a)^{r}}}}$ bzw. ${\displaystyle {}{\frac {c+dX}{Q_{i}^{r}}}}$ mit einem quadratischen nullstellenfreien Polynom ${\displaystyle {}Q_{i}}$ Stammfunktionen bestimmen. Dafür gibt es dann Standardverfahren. Eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}{\frac {b}{(X-a)}}}$ ist ${\displaystyle {}b\ln \vert {X-a}\vert }$ und eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}{\frac {b}{(X-a)^{r}}}}$, ${\displaystyle {}r\geq 2}$, ist ${\displaystyle {}{\frac {b}{(1-r)(X-a)^{r-1}}}}$. Wenn ein quadratischer Nenner vorliegt, wird es schwieriger; eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}{\frac {1}{1+x^{2}}}}$ ist beispielsweise ${\displaystyle {}\arctan X}$.