Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis2

Wir betrachten den Dedekindschen Schnitt ${\displaystyle {}(A,B)}$ mit

${\displaystyle {}A={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}<c\right\}}\cup \mathbb {Q} _{-}\,}$

und

${\displaystyle {}B={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}\geq c\right\}}\,.}$

Die Eigenschaften eines Dedekindschen Schnittes beruhen hierbei darauf, dass ${\displaystyle {}\geq }$ eine totale Ordnung ist, auf dem Archimedes-Axiom, auf Fakt  (8) und auf dem binomischen Lehrsatz, siehe Aufgabe. Nach Fakt gibt es somit ein ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle {}A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,.}$

Wir behaupten

${\displaystyle {}x^{k}=c\,.}$

Dies ergibt sich, da die beiden Annahmen ${\displaystyle {}x^{k}<c}$ bzw. ${\displaystyle {}x^{k}>c}$ jeweils zu einem Widerspruch führen.