Reeller Kreisteilungskörper/15/Einzelne Primzahlen/Verzweigung/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung des Polynoms

${\displaystyle {}F=Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\,}$

ist

${\displaystyle {}F'=4Y^{3}-3Y^{2}-8Y+4\,.}$

Verzweigung liegt über einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$ nach Fakt genau dann vor, wenn in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$ die beiden Polynome ${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$ nicht teilerfremd sind.

${\displaystyle {}p=2\,.}$

Modulo ${\displaystyle {}2}$ wird ${\displaystyle {}F}$ zu ${\displaystyle {}Y^{4}+Y^{3}+1}$ und die Ableitung zu ${\displaystyle {}Y^{2}}$, diese sind teilerfremd.

${\displaystyle {}p=3\,.}$

Modulo ${\displaystyle {}3}$ wird ${\displaystyle {}F}$ zu ${\displaystyle {}Y^{4}+2Y^{3}+2Y^{2}+Y+1}$ und die Ableitung zu ${\displaystyle {}Y^{3}+Y+1}$. Die Ableitung hat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)}$ die Nullstelle ${\displaystyle {}1}$ und dabei gilt

${\displaystyle {}Y^{3}+Y+1=(Y-1)(Y^{2}+Y-1)=(Y+2)(Y^{2}+Y+2)\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}(Y^{2}+Y+2)^{2}=Y^{4}+Y^{2}+1+2Y^{3}+Y^{2}+Y=Y^{4}+2Y^{3}+2Y^{2}+Y+1=F\,}$

ist ${\displaystyle {}Y^{2}+Y+2}$ auch ein Teiler von ${\displaystyle {}F}$, also sind in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]}$ die beiden Polynome nicht teilerfremd und es liegt Verzweigung vor.

${\displaystyle {}p=5\,.}$

Modulo ${\displaystyle {}5}$ wird ${\displaystyle {}F}$ zu ${\displaystyle {}Y^{4}+4Y^{3}+Y^{2}+4Y+1}$ und die Ableitung wird zu ${\displaystyle {}4Y^{3}+2Y^{2}+2Y+4}$. Die Ableitung hat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$ die Nullstelle ${\displaystyle {}-1}$ und dabei gilt

${\displaystyle {}4Y^{3}+2Y^{2}+2Y+4=(Y+1)(4Y^{2}+3Y+4)\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}(4Y^{2}+3Y+4)^{2}=Y^{4}+4Y^{2}+1+4Y^{3}+2Y^{2}+4Y=Y^{4}+4Y^{3}+Y^{2}+4Y+1=F\,}$

${\displaystyle {}4Y^{2}+3Y+4}$

${\displaystyle {}F}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[X]}$