Reguläre Punkte/Faser/X^2+Y^3+Z^7+XYZ ist 0/Aufgabe/Lösung

Die Jacobi-Matrix von ${\displaystyle {}\varphi }$ ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2x+yz\\3y^{2}+xz\\7z^{6}+xy\end{pmatrix}}.}$

Bei ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$ sind alle partiellen Ableitungen gleich ${\displaystyle {}0}$, dort liegt also ein nichtregulärer Punkt der Faser vor.

Wir müssen zeigen, dass es keinen weiteren nichtregulären Punkt auf der Faser gibt. Wenn alle Einträge der Jacobi-Matrix gleich ${\displaystyle {}0}$ sind, so ist aufgrund der ersten partiellen Ableitung

${\displaystyle {}x=-{\frac {yz}{2}}\,}$

und damit ist aufgrund der zweiten partiellen Ableitung

${\displaystyle {}0=3y^{2}-{\frac {yz^{2}}{2}}=y{\left(3y-{\frac {z^{2}}{2}}\right)}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}y=0}$ ist ${\displaystyle {}x=0}$ und wegen ${\displaystyle {}\varphi (x,y,z)=0}$ auch ${\displaystyle {}z=0}$. Es sei also ${\displaystyle {}y\neq 0}$ und somit

${\displaystyle {}y={\frac {z^{2}}{6}}\,}$

und

${\displaystyle {}x=-{\frac {z^{3}}{12}}\,.}$

Die dritte partielle Ableitung liefert

${\displaystyle {}0=7z^{6}-{\frac {z^{3}}{12}}\cdot {\frac {z^{2}}{6}}=z^{5}{\left(7z-{\frac {1}{72}}\right)}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}z=0}$ sind wieder alle drei Komponenten ${\displaystyle {}0}$. Daher ist

${\displaystyle {}z={\frac {1}{504}}\,.}$

Der Wert der Funktion an diesem Punkt ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{144}}+{\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{216}}+{\left({\frac {1}{504}}\right)}^{7}-{\frac {1}{12}}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot {\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}&={\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\left({\frac {1}{144}}+{\frac {1}{216}}+{\frac {1}{504}}-{\frac {1}{72}}\right)}\\&={\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{72}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}-1\right)}\\&={\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{72}}\cdot {\frac {21+14+6-42}{42}}\\&={\left({\frac {1}{504}}\right)}^{6}\cdot {\frac {1}{72}}\cdot {\frac {-1}{42}}\\&\neq 0.\,\end{aligned}}}$