Reguläre Punkte/Stetig differenzierbar/Offen/Aufgabe/Lösung

Es seien ${\displaystyle {}\varphi _{i}}$ die Koordinatenfunktionen zu ${\displaystyle {}\varphi }$ und sei

${\displaystyle {}J(P)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,}$

die Jacobi-Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$. Die Abbildung ist in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in G}$ genau dann regulär, wenn die Jacobi-Matrix bijektiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante ungleich ${\displaystyle {}0}$ ist. Nach Voraussetzung sind die Einträge in der Matrix stetige Funktionen. Da die Determinante eine polynomiale Funktion ist, ist die Gesamtabbildung

${\displaystyle G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \det J(P),}$

${\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \{0\}}$