Reihe/2n+5 durch 4n^3-3n+2/Aufgabe/Lösung

Für ${\displaystyle {}n\geq 5}$ ist

${\displaystyle {}2n+5\leq 3n\,}$

und für ${\displaystyle {}n\geq 1}$ ist

${\displaystyle {}4n^{3}-3n+2=n^{3}+3n^{3}-3n+2\geq n^{3}+3n(n^{2}-1)\geq n^{3}\,.}$

Daher gilt für die Reihenglieder für ${\displaystyle {}n\geq 5}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}{\frac {2n+5}{4n^{3}-3n+2}}\leq {\frac {3n}{4n^{3}-3n+2}}\leq {\frac {3n}{n^{3}}}=3{\frac {1}{n^{2}}}\,.}$

Die Reihe ${\displaystyle {}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ konvergiert nach Beispiel und dies gilt auch für ${\displaystyle {}\sum _{n=1}^{\infty }3{\frac {1}{n^{2}}}}$. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch

${\displaystyle \sum _{n=5}^{\infty }{\frac {2n+5}{4n^{3}-3n+2}}}$