Rein-quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt

Jedes reelle rein-quadratische Polynom

${\displaystyle {}F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}\,}$

besitzt in einer geeigneten Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) die Form

Die Koeffizienten ${\displaystyle {}r_{i}}$ sind die Eigenwerte der quadratischen symmetrischen Matrix

${\displaystyle {}M={\left(\alpha _{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,}$

mit

${\displaystyle {}\alpha _{ij}={\begin{cases}a_{ij}{\text{ für }}i=j\,,\\{\frac {a_{ij}}{2}}{\text{ für }}i<j\,,\\{\frac {a_{ji}}{2}}{\text{ für }}i>j\,.\end{cases}}\,}$