Reine Gleichung/Zerfällungskörper/Gradabschätzung/Aufgabe/Lösung

Wenn das Polynom schon über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ eine Nullstelle besitzt, so ist die Aussage klar, da es dann um den Zerfällungskörper eines Polynoms vom maximalen Grad ${\displaystyle {}n-1}$ handelt, dessen Grad maximal gleich

${\displaystyle {}(n-1)!\leq {\frac {n!}{2}}\,}$

ist. Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$ eine Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}\leq n}$, unter der das Polynom eine Nullstelle ${\displaystyle {}u\in K}$ bekommt. Zu ${\displaystyle {}K}$ gehört auch ${\displaystyle {}-u\neq u}$, und da ${\displaystyle {}n}$ gerade ist, ist dies ebenfalls eine Nullstelle. Somit gilt über ${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}X^{n}-a=(X-u)(X+u)Q\,,}$

und man braucht maximal den Grad ${\displaystyle {}(n-2)!}$, um ${\displaystyle {}Q}$ zu zerfällen. Insgesamt ist der benötigte Grad also gleich ${\displaystyle {}n\cdot (n-2)!}$. Dabei ist

${\displaystyle {}n\cdot (n-2)!\leq {\frac {n!}{2}}\,,}$

da dies zu

${\displaystyle {}2n\leq n(n-1)\,}$

äquivalent ist, was wegen ${\displaystyle {}n\geq 4}$