Reine kubische reelle Gleichung/Zerfällungsverhalten/Aufgabe/Lösung

Da ${\displaystyle {}q}$ keine dritte Wurzel in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ besitzt, ist das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-q}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ irreduzibel. Daher ist

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)=K\,}$

eine Körpererweiterung vom Grad drei. Es sei ${\displaystyle {}r={\sqrt[{3}]{q}}}$ die eindeutig bestimmte reelle dritte Wurzel aus ${\displaystyle {}q}$. Durch die Zuordnung ${\displaystyle {}X\mapsto r}$ können wir ${\displaystyle {}K}$ als Unterkörper von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ auffassen. In ${\displaystyle {}K}$ (und in ${\displaystyle {}L}$) hat das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-q}$ die Zerlegung

${\displaystyle {}X^{3}-q=X^{3}-r^{3}=(X-r)(X^{2}+rX+r^{2})\,.}$

Da es in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nur eine dritte Wurzel gibt, und da ${\displaystyle {}r}$ keine Nullstelle des rechten Faktors ist, ist das Polynom

${\displaystyle X^{2}+rX+r^{2}}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ und erst recht über ${\displaystyle {}K}$ irreduzibel. Von daher ist ${\displaystyle {}K}$ nicht der Zerfällungskörper. In der quadratischen Erweiterung

${\displaystyle {}K\subseteq K[Y]/(Y^{2}+rY+r^{2})=L\,}$

zerfällt das Polynom ${\displaystyle {}Y^{2}+rY+r^{2}}$ und damit auch ${\displaystyle {}X^{3}-q}$ in Linearfaktoren. Der Grad des Zerfällungskörpers ist also nach der Gradformel gleich ${\displaystyle {}6}$.

Um eine Realisierung des Zerfällungskörpers in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ zu erhalten, betrachten wir

${\displaystyle {}y^{2}+ry+r^{2}=0\,.}$

Die Lösungen dazu sind in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ gleich

${\displaystyle {}y=\pm {\sqrt {-3}}{\frac {r}{2}}-{\frac {r}{2}}=\pm {\sqrt {-3}}{\frac {\sqrt[{3}]{q}}{2}}-{\frac {\sqrt[{3}]{q}}{2}}\,.}$

Daher ist der Zerfällungskörper gleich

${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{q}},{\sqrt {-3}}].}$