Relationssymbole/Interpretation/Substitution/Lineare Unabhängigkeit/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}L^{S}}$ die prädikatenlogische Sprache, die neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol ${\displaystyle {}A}$ und einem dreistelligen Relationssymbol ${\displaystyle {}B}$ bestehe. Wir betrachten ${\displaystyle {}S}$-Interpretationen ${\displaystyle {}I}$, wobei die Grundmenge jeweils aus einem Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ bestehe und ${\displaystyle {}A}$ als die lineare Unabhängigkeit von zwei und ${\displaystyle {}B}$ als die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren interpretiert werde.

1. Zeige

   ${\displaystyle I\vDash Bxyz\rightarrow Axy.}$

2. Gilt

   ${\displaystyle I\vDash Axy\wedge Axz\wedge Ayz\rightarrow Bxyz}$

   für einen beliebigen Vektorraum?

3. Gibt es Vektorräume, für die die Aussage in Teil 2 gilt?
4. Es sei ${\displaystyle {}V=\mathbb {R} ^{3}}$ und ${\displaystyle {}e_{1},e_{2},e_{3}}$ sei die Standardbasis. Gilt

   ${\displaystyle I{\frac {e_{1},e_{2},e_{3}}{x,y,z}}\vDash Bxyz?}$

5. Es sei ${\displaystyle {}V=\mathbb {R} }$ als ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Vektorraum betrachtet. Gilt

   ${\displaystyle I{\frac {1,{\sqrt {2}}}{x,y}}\vDash Axy?}$