Repräsentierungen/Gerade Zahlen/Schwach/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst die schwache Repräsentierbarkeit, dass also für alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ die Zugehörigkeit ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} 2}$ genau dann vorliegt, wenn die Ableitbarkeit ${\displaystyle {}\Gamma \vdash \psi (n)}$ gilt.

Wenn ${\displaystyle {}n}$ eine gerade natürliche Zahl ist, so ist

${\displaystyle {}n=1+\cdots +1={\left(1+\cdots +1\right)}+{\left(1+\cdots +1\right)}={\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}}\,,}$

wobei wir die ${\displaystyle {}n}$ Einsen in zwei gleichgroße Hälften aufgeteilt haben. Da in ${\displaystyle {}\Gamma }$ die Assoziativität und Kommutativität ableitbar ist (was auch der Grund dafür ist, dass wir in der Darstellung von ${\displaystyle {}n}$ als Summe von ${\displaystyle {}1}$ keine Klammerung festlegen müssen), ist auch

${\displaystyle \Gamma \vdash n={\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}},}$

wobei ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}{\frac {n}{2}}}$ Abkürzungen für Einsersummen sind. Aufgrund der Existenzeinführung im Sukzedens ist

${\displaystyle \Gamma \vdash n={\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}}\rightarrow \exists y(n=y+y)}$

und mit Modus ponens auch

${\displaystyle \Gamma \vdash \exists y(n=y+y),}$

also

${\displaystyle \Gamma \vdash \psi (n).}$

Wenn ${\displaystyle {}n}$ ungerade ist, so ist definitiv nicht

${\displaystyle \Gamma \vdash \psi (n),}$

da wegen ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\rm {PA}}^{\vdash }}$ dies auch in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ gelten würde, was aber nicht der Fall ist.

Es liegt aber keine starke Repräsentierbarkeit vor. In diesem Fall würde nämlich für ${\displaystyle {}n}$ ungerade die Ableitbarkeit

${\displaystyle \Gamma \vdash \neg \psi (n)}$

gelten. Dies würde dann in jedem Modell, das ${\displaystyle {}\Gamma }$ erfüllt, gelten. Da die Gültigkeit von ${\displaystyle {}\Gamma }$ nur bedeutet, dass ein kommutatives Monoid vorliegt, ist beispielsweise auch ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,0,+)}$ ein Modell für ${\displaystyle {}\Gamma }$. Innerhalb der rationalen Zahlen besitzt aber jede Zahl eine Hälfte.