Residuum/Mehrfach punktiert/Integralbeschreibung/Fakt/Beweis

Es seien ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}}$ die Punkte von ${\displaystyle {}D}$. In jedem Punkt ${\displaystyle {}P_{i}}$ betrachten wir die Laurent-Entwicklung von ${\displaystyle {}f}$ und schreiben

${\displaystyle {}f=h_{i}+g_{i}\,}$

mit dem Hauptteil ${\displaystyle {}h_{i}}$ und dem Nebenteil ${\displaystyle {}g_{i}}$. Die Hauptteile selbst schreiben wir wiederum als

${\displaystyle {}h_{i}={\frac {r_{i}}{z-P_{i}}}+{\tilde {h}}_{i}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}r_{i}}$ das Residuum von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}P_{i}}$ ist und ${\displaystyle {}{\tilde {h}}_{i}}$ die anderen Summanden zusammenfasst. Aufgrund von Fakt  (1) sind die Hauptteile ${\displaystyle {}h_{i}}$ auf ganz ${\displaystyle {}G\setminus \{P_{i}\}}$ (und auch auf ${\displaystyle {\mathbb {C} }\setminus \{P_{i}\}}$) konvergent. Es ist ${\displaystyle {}f-h_{1}-\cdots -h_{n}}$ holomorph auf ${\displaystyle {}G}$, daher ist

${\displaystyle {}\int _{\gamma }f(z)-h_{1}(z)-\cdots -h_{n}(z)dz=0\,}$

nach Fakt. Ferner ist

${\displaystyle {}\int _{\gamma }{\tilde {h}}_{i}(z)dz=0\,}$

nach Fakt, da die ${\displaystyle {}{\tilde {h}}_{i}}$ nach Fakt  (2) eine Stammfunktion auf ${\displaystyle {}G\setminus \{P\}}$ besitzen. Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }h_{1}(z)dz+\cdots +{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }h_{n}(z)dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {r_{1}}{z-P_{1}}}dz+\cdots +{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {r_{n}}{z-P_{n}}}dz\\&=r_{1}\operatorname {ind} _{\gamma }(P_{1})+\cdots +r_{n}\operatorname {ind} _{\gamma }(P_{n}).\end{aligned}}}$