Restklassenkörper/Z/Zyklisch/Quadratrest/Bemerkung

Wenn zu einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$ eine primitive Einheit ${\displaystyle {}g\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$ vorliegt, so hat man einen Gruppenisomorphismus

${\displaystyle {\left(\mathbb {Z} /(p-1),0,+\right)}\longrightarrow {\left({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },1,\cdot \right)},\,i\longmapsto g^{i}.}$

Dabei entsprechen die Quadrate rechts denjenigen Elementen links, die ein Vielfaches der ${\displaystyle {}2}$ sind. Bei ${\displaystyle {}p}$ ungerade besitzt die Hälfte der Elemente links diese Eigenschaft. Insbesondere ist ein Element ${\displaystyle {}k\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$ genau dann ein Quadratrest, wenn es von der Form

${\displaystyle {}k=g^{2j}\,}$

ist.