Restklassenring/Hilbertfunktion/Übereinstimmung/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle {}I={\left(f_{1},\ldots ,f_{s}\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m}]=P\,}$

ein homogenes Ideal mit homogenen Erzeugern ${\displaystyle {}f_{j}}$ vom Grad ${\displaystyle {}d_{j}}$. Es sei ${\displaystyle {}d}$ das Minimum der ${\displaystyle {}d_{j}}$. Zeige, dass für die Hilbertfunktion des graduierten Restklassenringes ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/I}$ die Beziehung

${\displaystyle {}H_{R}(n)=H_{P}(n)\,}$

für ${\displaystyle {}n<d}$ gilt.