Restklassenring (Z)/mod 17/Jede Ordnung/Aufgabe/Lösung

Da ${\displaystyle {}17}$ eine Primzahl ist, handelt es sich bei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(17)}$ um einen Körper, sodass die Einheitengruppe aus ${\displaystyle {}16}$ Elementen besteht. Aufgrund des Satzes von Lagrange kommen als Ordnung nur Teiler von ${\displaystyle {}16}$ in Frage, also ${\displaystyle {}1,2,4,8,16}$. Aufgrund des Struktursatzes über multiplikative endliche Untergruppen von Körpern ist die Einheitengruppe zyklisch, sodass jede mögliche Ordnung auch auftritt. Wir bestimmen zuerst ein primitives Element, also ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}16}$. Es ist

${\displaystyle 2^{1}=2,\,2^{2}=4,\,2^{4}=4^{2}=16=-1,\,2^{8}=1,}$

d.h. ${\displaystyle {}2}$ hat die Ordnung ${\displaystyle {}8}$ und ist nicht primitiv.

Es ist

${\displaystyle 3^{1}=3,\,3^{2}=9,\,3^{4}=9^{2}=81=13=-4,\,3^{8}=(-4)^{2}=16=-1.}$

Also ist ${\displaystyle {}3}$ eine primitive Einheit modulo ${\displaystyle {}17}$ und hat die Ordnung ${\displaystyle {}16}$. Daher gilt:

${\displaystyle 3^{2}=9{\text{ hat die Ordnung }}8,}$

${\displaystyle 3^{4}=13{\text{ hat die Ordnung }}4,}$

${\displaystyle 3^{8}=-1{\text{ hat die Ordnung }}2,}$

${\displaystyle 1{\text{ hat die Ordnung }}1.}$

Eine Untergruppe aus vier Elementen ist die Menge

${\displaystyle \{3^{0},3^{4},3^{8},3^{12}\}=\{1,13,-1=16,-13=4\}.}$