Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-3/Kongruenzbedingung/Aufgabe/Lösung

Der Fall ${\displaystyle {}p=3}$ ist direkt erledigt, sodass wir nur die Fälle ${\displaystyle {}p=1\mod 3}$ und ${\displaystyle {}p=2\mod 3}$ betrachten müssen. Bei

${\displaystyle {}p=1\mod 4\,}$

ist nach Fakt und Fakt

${\displaystyle {}\left({\frac {-3}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)\left({\frac {-1}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)=\left({\frac {p}{3}}\right)\,,}$

also genau dann gleich ${\displaystyle {}1}$, wenn ${\displaystyle {}p}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$ modulo ${\displaystyle {}3}$ besitzt.

Bei

${\displaystyle {}p=3\mod 4\,}$

ist aus den gleichen Gründen

${\displaystyle {}\left({\frac {-3}{p}}\right)=\left({\frac {3}{p}}\right)\left({\frac {-1}{p}}\right)=-\left({\frac {3}{p}}\right)=\left({\frac {p}{3}}\right)\,}$