Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt mit Beweisklappe

Es ist ${\displaystyle {}{\left(k^{\frac {p-1}{2}}\right)}^{2}=k^{p-1}=1}$ nach Fakt. Daher ist

${\displaystyle {}k^{\frac {p-1}{2}}=\pm 1\,.}$

Die Abbildung

${\displaystyle {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow \{\pm 1\},\,k\longmapsto k^{\frac {p-1}{2}},}$

ist (wie jedes Potenzieren) ein Gruppenhomomorphismus. Die Quadrate werden darunter auf ${\displaystyle {}1}$ abgebildet, da für ${\displaystyle {}k=x^{2}}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}k^{\frac {p-1}{2}}=(x^{2})^{\frac {p-1}{2}}=x^{p-1}=1\,}$

gilt. Da nach Fakt die Einheitengruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$ zyklisch ist, muss diese Abbildung surjektiv sein (sonst hätte jedes Element eine kleinere Ordnung). Damit muss diese Abbildung mit der durch das Legendre-Symbol gegebenen übereinstimmen.