Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)}$ mit einem Divisor ${\displaystyle {}D}$. Es sei ${\displaystyle {}g}$ das Geschlecht von ${\displaystyle {}X}$ und es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kanonischer Divisor. Wegen Fakt genügt es zu zeigen, dass

${\displaystyle \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),{\mathbb {C} }\right)}\cong {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\right)}^{*},\,\theta \longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )\right),}$

auch surjektiv ist. Es sei dazu

${\displaystyle \lambda \colon H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

eine Linearform ${\displaystyle {}\neq 0}$. Es sei ${\displaystyle {}P\in X}$ ein Punkt, wir betrachten die Divisoren ${\displaystyle {}D_{n}=D-nP}$. Es sei zunächst ${\displaystyle {}n}$ fixiert. Ein globaler Schnitt ${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}}$ definiert durch Tensorierung (siehe Fakt) mit ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})}$ einen Homomorphismus

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\otimes {\mathcal {O}}_{X}(nP)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

und damit via

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})){\stackrel {H^{1}(s)}{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }}$

eine Linearform auf ${\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))}$, die wir mit ${\displaystyle {}s\lambda }$ bezeichnen. Es sei

${\displaystyle {}\Lambda _{n}={\left\{s\lambda \mid s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\right\}}\subseteq {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\,.}$

Für ${\displaystyle {}s\neq 0}$ ist nach Fakt auch ${\displaystyle {}s\lambda \neq 0}$ und daher ist die Gesamtzuordnung

${\displaystyle \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}}$

injektiv. Insbesondere haben ${\displaystyle {}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}}$ und ${\displaystyle {}\Lambda _{n}}$ die gleiche Dimension. Daher haben wir nach Fakt die Dimensionsabschätzung

${\displaystyle {}\dim _{\mathbb {C} }{\left(\Lambda _{n}\right)}\geq n+1-g\,.}$

Neben ${\displaystyle {}\Lambda _{n}}$ betrachten wir einen weiteren Untervektorraum von ${\displaystyle {}{\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}}$, nämlich das natürliche Bild

${\displaystyle B_{n}=\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\right)}\,.}$

Dessen Dimension stimmt nach Fakt mit der Dimension von ${\displaystyle {}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))}$ überein und kann nach Fakt (mit ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(K-D)}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(nP)}$) durch

${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\right)}\geq n+c\,}$

für ein von ${\displaystyle {}D}$ und ${\displaystyle {}K}$ abhängiges ${\displaystyle {}c}$ abgeschätzt werden. Ferner ist für

${\displaystyle {}n>\operatorname {Grad} \,(D)\,}$

der Grad von ${\displaystyle {}D_{n}}$ negativ und somit besitzt für diese ${\displaystyle {}D_{n}}$ keine globalen Schnitte nach Fakt. Nach Fakt ist daher

${\displaystyle {}h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))=g-1-\operatorname {Grad} \,(D_{n})=n+g-1-\operatorname {Grad} \,(D)\,.}$

Die Zahl ${\displaystyle {}n}$ geht also in alle drei relevanten Dimensionen einfach linear ein. Für ${\displaystyle {}n}$ hinreichend groß übertrifft also die Summe der Dimensionen von ${\displaystyle {}\Lambda _{n}}$ und von ${\displaystyle {}B_{n}}$ die Dimension des umgebenden Raumes. Es sei nun ein solches ${\displaystyle {}n}$ gewählt. Nach Fakt ist dann

${\displaystyle {}\Lambda _{n}\cap B_{n}\neq \emptyset \,.}$

Ein nichttriviales Element darin hat einerseits eine Darstellung als ${\displaystyle {}s\lambda }$ mit ${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}}$ und andererseits als Bild von einem Element ${\displaystyle {}\omega }$ aus ${\displaystyle {}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))}$. Es gilt also

${\displaystyle {}s\lambda =\omega \,.}$

Wegen ${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}}$ ist ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(s\right)}\geq -nP}$. Somit ist ${\displaystyle {}-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq 0}$ und daher ist

${\displaystyle {}D':=D_{n}-\operatorname {div} {\left(s\right)}=D-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq D\,.}$

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {}\lambda }$

${\displaystyle {}\omega \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))}$ ist ${\displaystyle {}{\frac {\omega }{s}}\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}+\operatorname {div} {\left(s\right)}))=H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))}$. Dabei gilt rechts unten die Gleichheit ${\displaystyle {}{\frac {\omega }{s}}=\lambda }$. Nach Fakt rührt damit ${\displaystyle {}\lambda }$ von oben links her.