Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Fakt/Beweis

Lokal auf einer offenen Kreisscheibe ${\displaystyle {}U\subseteq X}$ liegt die Situation

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U},\,1\longmapsto f,}$

mit einer nichttrivialen holomorphen Funktion ${\displaystyle {}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{U}\right)}}$ vor. Auf dem Ort, wo ${\displaystyle {}f}$ nullstellenfrei ist, liegt ein Isomorphismus mit Quotientengarbe ${\displaystyle {}0}$ vor. Nach Fakt ist das Komplement diskret. Es habe ${\displaystyle {}f}$ eine Nullstelle in ${\displaystyle {}P}$. Dann ist mit einer lokalen Koordinate ${\displaystyle {}z}$ die Funktion gleich

${\displaystyle {}f=gz^{n}\,}$

mit ${\displaystyle {}g}$ nullstellenfrei in ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}n\geq 1}$. Im lokalen Ring ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X,P}}$ erzeugen ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}z^{n}}$ das gleiche Ideal, daher ist

${\displaystyle {}{\left({\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\right)}_{P}\cong {\mathcal {O}}_{X,P}/(z^{n})\cong {\mathbb {C} }^{n}\,.}$