Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Von (1) nach (2) und von (2) nach (3) sind Einschränkungen. Es sei (3) erfüllt. Es sei ${\displaystyle {}V\subseteq Y}$ eine offene Teilmenge und ${\displaystyle {}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})}$ eine holomorphe Funktion. Die Durchschnitte ${\displaystyle {}V\cap V_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, bilden dann eine offene Überdeckung von ${\displaystyle {}V}$. Nach (3) sind dann die

${\displaystyle {}f{|}_{V\cap V_{i}}\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V\cap V_{i})}={\left(f\circ {\left(\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}\right)}\right)}{|}_{\varphi ^{-1}(V\cap V_{i})}\,}$

holomorph. Da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, ist ${\displaystyle {}f\circ {\left(\varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}\right)}}$ selbst holomorph.

Von (2) nach (4) und von (4) nach (5) ist klar. Es sei also (5) erfüllt, wir werden (3) zeigen. Ohne Einschränkung können wir ${\displaystyle {}I=\{i\}}$,

${\displaystyle {}V_{i}=Y\subseteq {\mathbb {C} }\,}$

offen und

${\displaystyle {}X=\bigcup _{j\in J}U_{j}\,}$

mit Kartengebieten ${\displaystyle {}U_{j}}$ annehmen. Es sei ${\displaystyle {}f}$ eine holomorphe Funktion auf ${\displaystyle {}Y}$. Es ist die Holomorphie von

${\displaystyle f\circ \varphi {|}_{U_{j}}\colon U_{j}\longrightarrow Y\subseteq {\mathbb {C} }}$

für jedes ${\displaystyle {}U_{j}}$ nachzuweisen. Somit ist zu zeigen, dass

${\displaystyle f\circ \varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}\colon \alpha _{j}(U_{j})\longrightarrow Y\subseteq {\mathbb {C} }}$

holomorph ist. Nach Voraussetzung (5) ist ${\displaystyle {}\varphi {|}_{U_{j}}\circ \alpha _{j}^{-1}}$ holomorph und somit ist auch diese Hintereinanderschaltung mit ${\displaystyle {}f}$ holomorph.