Riemannsche Flächen/Kompakt/Basisfläche/Endliche Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Die Abschätzung, dass der Grad der Körpererweiterung höchstens ${\displaystyle {}n}$ ist, wurde in Fakt bewiesen.

Es sei nun

${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(Y)={\mathcal {M}}(X)[g]\,}$

und es ist zu zeigen, dass das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}g}$ den Grad ${\displaystyle {}n}$ besitzt. Angenommen, das Minimalpolynom

${\displaystyle {}H=T^{m}+a_{m-1}T^{m-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{j}\in {\mathcal {M}}(X)}$ (aufgefasst in ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(Y)}$) hat Grad ${\displaystyle {}m<n}$. Es sei ${\displaystyle {}Q\in X}$ ein Punkt, über dem keine Verzweigung stattfindet, wo die ${\displaystyle {}a_{j}}$ holomorph sind und worüber ${\displaystyle {}g}$ holomorph ist. Es gibt dann Urbildpunkte ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}\in Y}$. Diese erfüllen die Gleichung

${\displaystyle {}0=H(g)(P_{i})={\left(\sum _{j=0}^{m}a_{j}g^{j}\right)}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(P_{i})g^{j}(P_{i})=\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)g(P_{i})^{j}\,.}$

D.h. die Punkte ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}}$ haben die Eigenschaft, dass alle Werte ${\displaystyle {}g(P_{i})}$ Nullstellen des Polynoms ${\displaystyle {}\sum _{j=0}^{m}a_{j}(Q)T^{j}}$ sind. Da es nur ${\displaystyle {}m}$ Nullstellen gibt, muss beispielsweise ${\displaystyle {}g(P_{1})=g(P_{2})}$ sein. Da ${\displaystyle {}g}$ jedoch zusammen mit ${\displaystyle {}{\mathcal {M}}(X)}$ den Körper der meromorphen Funktionen auf ${\displaystyle {}Y}$ erzeugt, haben ${\displaystyle {}P_{1}}$ und ${\displaystyle {}P_{2}}$ für beliebige meromorphe Funktionen den gleichen Wert. Doch das widerspricht dem Beweis von Fakt.