Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Differentialgleichung/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}n}$ die Dimension von ${\displaystyle {}M}$. Wir betrachten die Situation direkt auf einem offenen Kartenbild ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. Die vertikale Ableitung ist gemäß Bemerkung durch

${\displaystyle T(U\times \mathbb {R} ^{n})=U\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,e_{j},\partial _{i},w)\longmapsto (P,e_{j},\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}+w)\cong V(U\times \mathbb {R} ^{n})}$

gegeben, wobei man die Abbildung nach ${\displaystyle {}TU}$ erhält, wenn man die mittlere Komponente weglässt. Die zweite Ableitung der Kurve ist zunächst die zweite Tangentialabbildung, es ist (wobei wir die Multiplikation mit der eindimensionalen Richtung des Tangentialraumes der Kurve ignorieren)

${\displaystyle T(\gamma )\colon I\longrightarrow TU,\,t\longmapsto (\gamma (t),\gamma '(t)),}$

und entsprechend

${\displaystyle T(T(\gamma ))\colon I\longrightarrow T(TU),\,t\longmapsto ((\gamma (t),\gamma '(t)),(\gamma '(t),\gamma ^{\prime \prime }(t)))}$

(es werden beide Komponenten der Tangentialabbildung abgeleitet). Mit ${\displaystyle {}\gamma '(t)=\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}'(t)\partial _{j}}$ wird dies unter der vertikalen Projektion auf

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\left(\sum _{i,j}\gamma _{i}'(t)\gamma _{j}'(t)\Gamma _{ij}^{k}(\gamma (t))\right)}\partial _{k}+\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}^{\prime \prime }(t)\partial _{k}}$

abgebildet. Die Bedingung an eine Geodätische, dass die zweite Ableitung (in ${\displaystyle {}TTM}$) stets horizontal ist, ist äquivalent dazu, dass die berechnete vertikale Projektion gleich ${\displaystyle {}0}$ ist. Dies bedeutet, dass die einzelnen Komponenten gleich ${\displaystyle {}0}$ sind und dies bedeutet

${\displaystyle {}\sum _{i,j}\gamma _{i}'(t)\gamma _{j}'(t)\Gamma _{ij}^{k}(\gamma (t))+\gamma _{k}^{\prime \prime }(t)=0\,}$

für ${\displaystyle {}k=1,\ldots ,n}$.