Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Tangentiale Ebene/Fakt/Beweis

Wir betrachten den definierenden Ausdruck

${\displaystyle {}K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,}$

für die Schnittkrümmung. Der Ausdruck ${\displaystyle {}R(v,w)z}$ ist nach Fakt linear in allen Komponenten. Wenn man ${\displaystyle {}v}$ oder ${\displaystyle {}w}$ mit einem Skalar ${\displaystyle {}a\neq 0}$ multipliziert, so kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner den Faktor ${\displaystyle {}a^{2}}$ rausziehen. Ferner gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle R(v+w,w)w,v+w\right\rangle &=\left\langle R(v,w)w+R(w,w)w,v+w\right\rangle \\&=\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle .\end{aligned}}}$

Nach Fakt  (4) sind ${\displaystyle {}\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle }$ und ${\displaystyle {}\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle }$ gleich ${\displaystyle {}0}$ und wegen Fakt  (5,6) ist auch ${\displaystyle {}\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle =0}$. Der Zähler der Schnittkrümmung ändert sich also nicht, wenn man ${\displaystyle {}v}$ durch ${\displaystyle {}v+w}$ ersetzt. Wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle v+w,v+w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v+w,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle ^{2}-2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\,\end{aligned}}}$

ändert sich dabei auch nicht der Nenner.