Riemannscher Abbildungssatz/Injektive Abbildung in Kreis/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}w\notin U}$. Dann ist die lineare Funktion ${\displaystyle {}z-w}$ nullstellenfrei auf ${\displaystyle {}U}$ und daher gibt es nach Fakt eine holomorphe Funktion ${\displaystyle {}\psi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }}$ mit ${\displaystyle {}{\left(\psi (z)\right)}^{2}=z-w}$. Die Abbildung ${\displaystyle {}\psi }$ ist injektiv als Quadratwurzel einer injektiven Funktion. Aufgrund des Offenheitssatzes ist ${\displaystyle {}\psi (U)}$ offen in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$. Es gibt also insbesondere einen Punkt ${\displaystyle {}P\neq 0}$ und eine offene Kreisscheibe

${\displaystyle {}U{\left(P,r\right)}\subseteq \psi (U)\,,}$

wobei wir ${\displaystyle {}0<r<\vert {P}\vert }$ wählen. Wir behaupten, dass die gegenüberliegende Kreisscheibe ${\displaystyle {}U{\left(-P,r\right)}}$ disjunkt zu ${\displaystyle {}\psi (U)}$ ist. Wäre nämlich ${\displaystyle {}Q\in U{\left(-P,r\right)}\cap \psi (U)}$, so gäbe es Punkte ${\displaystyle {}S_{1},S_{2}\in U}$ mit ${\displaystyle {}Q=\psi (S_{1})}$ und ${\displaystyle {}-Q=\psi (S_{2})}$. Doch dann ist

${\displaystyle {}{\left(\psi (S_{1})\right)}^{2}=Q^{2}={\left(\psi (S_{2})\right)}^{2}\,,}$

was der Injektivität von ${\displaystyle {}z-w}$ widerspricht. Daher ist ${\displaystyle {}\vert {\psi (z)+P}\vert \geq r}$ und die Funktion

${\displaystyle {}\varphi (z)={\frac {r}{\psi (z)+P}}\,}$

ist auf ${\displaystyle {}U}$ wohldefiniert, injektiv und landet im abgeschlossenen, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch im offenen Einheitskreis.