Riemannscher Abbildungssatz/Surjektivitätskriterium/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}f}$ nicht surjektiv und sei ${\displaystyle {}a\in U{\left(0,1\right)}}$ nicht im Bild. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung

${\displaystyle {}h=\alpha \circ f\,}$

mit

${\displaystyle {}\alpha (w)={\frac {w-a}{1-{\overline {a}}w}}\,,}$

also die Funktion

${\displaystyle {}h(z)={\frac {f(z)-a}{1-{\overline {a}}f(z)}}\,.}$

Nach Aufgabe bildet ${\displaystyle {}\alpha }$ den Einheitskreis in sich ab, daher ist auch ${\displaystyle {}h}$ eine Abbildung von ${\displaystyle {}U}$ in den Einheitskreis. Da ${\displaystyle {}h}$ nullstellenfrei und ${\displaystyle {}U}$ einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Fakt eine Funktion

${\displaystyle \psi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}}$

mit ${\displaystyle {}(\psi (z))^{2}=h(z)}$. Beachte dabei ${\displaystyle {}h(0)=-a}$ und ${\displaystyle {}\vert {\psi (0)}\vert ^{2}=\vert {h(0)}\vert =\vert {a}\vert }$. Wir betrachten nun

${\displaystyle {}g=\beta \circ \psi \,}$

mit

${\displaystyle {}\beta (u)={\frac {u-\psi (0)}{1-{\overline {\psi (0)}}u}}\,,}$

also

${\displaystyle {}g(z)={\frac {\psi (z)-\psi (0)}{1-{\overline {\psi (0)}}\psi (z)}}\,.}$

Nach Konstruktion ist ${\displaystyle {}g}$ injektiv und bildet in den Einheitskreis ab. Ferner ist ${\displaystyle {}g(0)=0}$. Schließlich gilt unter Verwendung von Aufgabe

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {g'(0)}\vert &=\vert {\frac {\psi '(0){\left(1-{\overline {\psi (0)}}\psi (0)\right)}}{{\left(1-{\overline {\psi (0)}}\psi (0)\right)}^{2}}}\vert \\&=\vert {\frac {\psi '(0)}{1-\vert {\psi (0)}\vert ^{2}}}\vert \\&=\vert {\frac {\psi '(0)}{1-\vert {a}\vert }}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-\vert {a}\vert }}\cdot \vert {{\frac {1-a{\overline {a}}}{\sqrt {-a}}}\cdot f'(0)}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-\vert {a}\vert }}\cdot {\frac {1-\vert {a}\vert ^{2}}{\sqrt {\vert {a}\vert }}}\cdot \vert {f'(0)}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1+\vert {a}\vert }{\sqrt {\vert {a}\vert }}}\cdot \vert {f'(0)}\vert \\&>\vert {f'(0)}\vert ,\end{aligned}}}$

wobei die letzte Abschätzung auf (der strikten Version von) Aufgabe beruht.