Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Faser/Tensorbeschreibung/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon R\rightarrow S}$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und

${\displaystyle \varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}}$

die zugehörige Spektrumsabbildung. Zu einem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}}$ ist die Faser zu ${\displaystyle {}\varphi ^{*}}$ über ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ gleich ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S\right)}}$. Dies folgt aus

${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}S\cong {\left(S/{\mathfrak {p}}\right)}_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {p}})}\,}$

(nach Fakt) und der Beschreibung der Faser in Fakt.